Предыдущих главах я рассказал о том, что такое цифровая техника и как устроена вычислительная система на основе микроконтроллера. Я упразднил большое число деталей и надеюсь, что это помогло тебе ухватить главные идеи позади цифровой техники и сейчас ты можешь хоть и поверхностно, но осознанно представить принципы работы цифровых устройств и микроконтроллера в частности.
Всё это время я говорил о том, что цифровые машины стали возможны благодаря простой идее о том, что любую информацию можно представить в виде последовательности из «0» и «1», т. е. закодировать её двоичным числом. При этом я умышленно умолчал о том, как «0» и «1» представляются внутри цифрового устройства. Для понимания основных идей информации было достаточно.
Но если задаться вопросом что такое на самом деле «0» и «1» в цифровом устройстве, то очевидный ответ будет звучать так:«электричество»! Да, «истина» и «ложь» в электронных устройствах кодируются с помощью напряжения (если ты забыл что это такое, то можешь просто воспринимать его как давление воды в трубе. Аналогия хоть и не точная, но зато понятная). На самом деле мы можем что угодно принять за «истину» или «ложь». Просто выбрать два разных значения и одно из них считать за «истину», а второе за «ложь».
Например, возьмём монету, «орла» будем считать за «1», а решку - за «0». Такая простая идея позволяет строить вычислительные машины из чего угодно. Можно даже построить механический компьютер. Правда он будет жутко медленный, очень дорогой и невероятно огромный, т. е. абсолютно бесполезное устройство.
Но вернёмся к электрическому представлению «0» и «1». Инженеры решили этот вопрос в лоб и просто приняли 0 вольт за «0», а за «1» напряжение большее ~2.5 вольт. Были придуманы простейшие схемы (логические элементы), сначала на электронных лампах и реле, а потом на транзисторах, которые умеют распознавать эти уровни напряжения и выполнять логические функции: И, НЕ, ИЛИ, И-НЕ и т. д. На основе этих схем были построены более сложные элементы: триггеры, счетчики, сумматоры, шифраторы и дешифраторы, мультиплексоры и демультиплексоры, регистры, - из которых в дальнейшем были созданы ещё более сложные устройства такие как АЛУ, ячейки памяти и многие другие необходимые блоки современных цифровых устройств.
Соглашение, когда 0В обозначает «0», а ~2.5В обозначает «1» принято называть положительной логикой. Если же принято наоборот (0В = «1», а 2.5В = «0»), то такое соглашение называют отрицательной логикой. Какой вариант использовать -- выбор разработчика. К тому же сейчас существует множество схем, которые работают и с другими напряжениями. В целом они делятся на два больших семейства: ТТЛ (TTL) и КМОП (CMOS). Существуют также более современные семейства LVTTL, LVCMOS. Не буду сейчас на них подробно останавливаться.
Системы счисления
Система счисления - это практически тоже самое, что алфавит для записи слов, только он служит для записи чисел. Двоичный алфавит состоит из цифр «0» и «1», а десятичный из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9. Восьмиричный из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. С помощью такого «численного алфавита» мы записываем все возможные числа. При этом все современные активно использующиеся системы счисления таковы, что для записи любого числа достаточно только тех цифр, что есть в выбранной системе счисления. При этом количество разных цифр в системе счисления называется её «основанием». Двоичная система имеет основание 2, десятичная -- 10, восьмиричная -- 8, шестандцатиричная -- 16, шестидесятиричная -- 60 и т.д.
Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. В непозиционных число выражается с помощью набора символов, порядок которых не играет никакой роли. К одной из самых известных непозиционных систем относится римская система записи чисел: XXVIII. Согласись, что записывать римскими цифрами большие числа очень трудно. А производить вычисления ещё не удобней.
В позиционных же наоборот порядок следования цифр играет важную роль, так как он определяет значение числа. Положение каждой цифры называется позицией, каждая позиция имеет свой вес. Число в любой системе счисления можно записать с помощью простой формулы:
D = d p-1 b p-1 + d p-2 b p-2 + ... + d 1 b 1 + d 0 b 0 .d -1 b -1 + d -2 b -2 + ... + d -n b -n
С помощью этой формулы можно записать как целое число, так и число дробное. p -- число знаков слева от точки, а n -- после запятой, а b -- это основание системы. Для примера запишем число 22.15:
22.15 = d 2-1 b 2-1 + d 2-2 b 2-2 .d -1 b -1 +d -2 b -2 = 2 1 10 1 + 2 0 10 0 .1 -1 10 -1 +5 -2 10 -2
Одной из древнейших из дошедших до нас позиционых систем счисления является шестидесятиричная. И осталась она нам от Вавилона. Отголоски применения такой системы до сих пор можно встретить при определении времени и углов. В этой системе каждый следующий разряд был на 60 больше предыдущего.
Позиционные системы таковы, что если в результате сложения, полученное число превышает «основание», то мы добавляем новый разряд слева: 5+7 = 12, 11+99 = 110 и т.д. Эти правила сложения тебе известны со времен начальной школы. И они успешно применяются как десятичным, так и к двоичным числам.
Глубже в вопросы систем счисления можно вникнуть по материалам, к примеру, википедии или книг на эту тему. Наша же цель -- это собрать воедино картину мира электроники. Теперь, когда магия систем счисления и представления двоичных чисел в цифровых устройствах развеялась я могу наконец-то перейти к двоичной арифметике и рассказать о ней чуть больше. В частности мы затронем способы представления двоичных чисел в цифровых устройствах, а также затронем типичные арифметические операции, которые применяются для операций с двоичными числами.
Арифметика нулей и единиц
Выполнять арифметические операции достаточно легко, так как у нас всего две цифры и несколько правил:
1 + 0 = 01 0 + 0 = 00 1 + 1 = 10 (+ 1 разряд переноса) = 10 1 * 1 = 01 1 - 1 = 00
При выполнении операций следует всегда учитывать разрядность числа. Если мы складываем двоичные числа на бумаге, то она не играет никакой роли, а вот в реальных устройствах важна. Так как размер, т. е. разрядность чисел, с которыми может работать устройство задаётся на этапе проектирования. Покажу на примере - сложим два числа:
Как видно сумма двух 8-разрядных чисел не всегда равна 8 разрядам. В этом примере мы получили 9! Ниже я показал, что произойдёт, если сложить два 8-разрядных числа в устройстве, которое умеет работать только с 8-разрядными числами, если забыть про перенос в старший разряд.
Мы потеряли самый старший разряд (9-й), который в результате сложения должен был быть равен «1»! Таким образом, реальное цифровое устройство всегда должно уметь учитывать перенос из младшего разряда в старший, иначе некоторые операции сложения всегда будут давать неверный результат.
Кстати, если представить, что число "11111111" -- это максимальное значение некоторого восьми разрядного счетчитка, то добавив к нему единицу мы получим переполнение счетчика и он обнулится.
, Конкурс «Презентация к уроку»
Презентация к уроку
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели урока: (слайд 2)
- Познакомить учащихся с двоичной системой счисления.
- Сформировать навыки выполнения арифметических действий с двоичными числами
Ход урока
I. Начало урока
Учитель: Для того чтобы лучше освоить двоичную систему счисления, необходимо освоить выполнение арифметических действий над двоичными числами.
Все позиционные системы счисления ”одинаковы”, а именно, во всех них арифметические операции выполняются по одним и тем же правилам:
- справедливы одни и те же законы арифметики: коммутативный, ассоциативный, дистрибутивный;
- справедливы правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком;
- Правила выполнения арифметических операций опираются на таблицы сложения и умножения.
Рассмотрим правила выполнения арифметических операций
II. Изучение нового материала
При делении столбиком приходится в качестве промежуточных результатов выполнять действия умножения и вычитания. Но в двоичной системе счисления промежуточные умножения сводятся у умножению делителя или на 0 или на 1, поэтому наиболее сложной остаётся операция вычитания, которую надо научиться делать безошибочно.
III. Закрепление изученного. (слайд 12)
Ребята выполняют работу самостоятельно. Потом открыть слайд с ответами.
Ответы. (Слайд 13)
IV. Домашняя работа (слайд 14)
1. Выучить правила выполнения арифметических действий в двоичной системе счисления.
2. Выполните действия:
- 110010+11,01
- 1111001-1101
- 10101,1*11
- 10101110:101
Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Перевод чисел в двоичную, шестнадцатеричную, десятичную, восьмеричную системы счисления
Умножение двоичных чисел
Формат представления чисел с плавающей запятой
Пример №1
. Представить число 133,54 в форме числа с плавающей точкой.
Решение
. Представим число 133.54 в нормализованном экспоненциальном виде:
1.3354*10 2 = 1.3354*exp 10 2
Число 1.3354*exp 10 2 состоит из двух частей: мантиссы M=1.3354 и экспоненты exp 10 =2
Если мантисса находится в диапазоне 1 ≤ M Представление числа в денормализованном экспоненциальном виде
.
Если мантисса находится в диапазоне 0,1 ≤ M Представим число в денормализованном экспоненциальном виде: 0.13354*exp 10 3
Пример №2
. Представить двоичное число 101.10 2 в нормализованном виде, записать в 32-битом стандарте IEEE754.
Таблица истинности
Вычисление пределов
Арифметика в двоичной системе счисления
Арифметические действия в двоичной системе выполняются так же, как и в десятичной. Но, если в десятичной системе счисления перенос и заём осуществляется по десять единиц, то в двоичной - по две единицы. В таблице представлены правила сложения и вычитания в двоичной системе счисления.- При сложении в двоичной системе системе счисления двух единиц в данном разряде будет 0 и появится перенос единицы в старший разряд.
- При вычитании из нуля единицы производится заём единицы из старшего разряда, где есть 1 . Единица, занятая в этом разряде, даёт две единицы в разряде, где вычисляется действие, а также по единице, во всех промежуточных разрядах.
Сложение чисел с учетом их знаков на машине представляет собой последовательность следующих действий:
- преобразование исходных чисел в указанный код;
- поразрядное сложение кодов;
- анализ полученного результата.
При выполнении операции в дополнительном (модифицированном дополнительном) коде если в результате сложения в знаковом разряде возникает единица переноса, она отбрасывается.
Операция вычитания в ЭВМ выполняется через сложение по правилу: Х-У=Х+(-У). Дальнейшие действия выполняются также как и для операции сложения.
Пример №1
.
Дано: х=0,110001; y= -0,001001, сложить в обратном модифицированном коде.
Дано: х=0,101001; y= -0,001101, сложить в дополнительном модифицированном коде.
Пример №2
. Решить примеры на вычитание двоичных чисел, используя метод дополнения до 1 и циклического переноса.
а) 11 - 10.
Решение
.
Представим числа 11 2 и -10 2 в обратном коде.
Двоичное число 0000011 имеет обратный код 0,0000011
Сложим числа 00000011 и 11111101
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
В 2-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 3-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
В итоге получаем:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Возник перенос из знакового разряда. Добавим его (т.е. 1) к полученному числу (тем самым осуществляя процедуру циклического переноса).
В итоге получаем:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Результат сложения: 00000001. Переведем в десятичное представление . Для перевода целой части необходимо умножить разряд числа на соответствующую ему степень разряда.
00000001 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *0 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1
Результат сложения (в десятичном представлении): 1
б) 111-010
Представим числа 111 2 и -010 2 в обратном коде.
Обратный код для положительного числа совпадает с прямым кодом. Для отрицательного числа все цифры числа заменяются на противоположные (1 на 0, 0 на 1), а в знаковый разряд заносится единица.
Двоичное число 0000111 имеет обратный код 0,0000111
Двоичное число 0000010 имеет обратный код 1,1111101
Сложим числа 00000111 и 11111101
В 0-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 1-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
В 1-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 2-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
В 2-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 + 1 = 11). Поэтому записываем 1, а 1 переносим на 3-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
В 3-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 4-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
В 4-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 5-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
В 5-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 6-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
В 6-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 7-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
В 7-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 8-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
В итоге получаем:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Возник перенос из знакового разряда. Добавим его (т.е. 1) к полученному числу (тем самым осуществляя процедуру циклического переноса).
В итоге получаем:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Результат сложения: 00000101
Получили число 00000101. Для перевода целой части необходимо умножить разряд числа на соответствующую ему степень разряда.
00000101 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5
Результат сложения (в десятичном представлении): 5
Сложение двоичных вещественных чисел с плавающей запятой
В компьютере любое число может быть представлено в формате с плавающей точкой. Формат с плавающей точкой показан на рисунке:
Например, число 10101 в формате с плавающей точкой можно записать так:
В компьютерах используется нормализованная форма записи числа, в которой положение запятой всегда задается перед значащей цифрой мантиссы, т.е. выполняется условие:
b -1 ≤|M|Нормализованное число - это число, у которого после запятой идет значащая цифра (т.е. 1 в двоичной системе счисления). Пример нормализации:
0,00101*2 100 =0,101*2 10
111,1001*2 10 =0,111001*2 101
0,01101*2 -11 =0,1101*2 -100
11,1011*2 -101 =0,11011*2 -11
При сложении чисел с плавающей точкой выравнивание порядков выполняют в сторону большего порядка:
Алгоритм сложения чисел с плавающей точкой:
- Выравнивание порядков;
- Сложение мантисс в дополнительном модифицированном коде;
- Нормализация результата.
Пример №4
.
A=0,1011*2 10 , B=0,0001*2 11
1. Выравнивание порядков;
A=0,01011*2 11 , B=0,0001*2 11
2. Сложение мантисс в дополнительном модифицированном коде;
MA доп.мод. =00,01011
MB доп.мод. =00,0001
00,01011
+ 00,00010
=
00,01101
A+B=0,01101*2 11
3. Нормализация результата.
A+B=0,1101*2 10
Пример №3 . Записать десятичное число в двоично-десятичной системе счисления и сложить два числа в двоичной системе счисления.
Чтобы овладеть любой системой счисления, надо уметь складывать и умножать в ней любые числа. Арифметические действия в двоичной системе счисления выполняют по тем же правилам, что и в десятичной системе, с той лишь разницей, что основание системы равно двум .
Правила двоичной арифметики
Сложение и вычитание двоичных чисел основаны на правилах этих действий в пределах одного разряда и правилах учета межразрядных переносов и займов.
Для операций сложения, вычитания и умножения используются правила, приведенные в таблице 3.1.
Таблица 3.1
Правила арифметических операций
Перенос, возникающий в i -м разряде, передается в следующий (i +1)-разряд с увеличенным вдвое весом и уменьшенным вдвое значением.
Заем из (i +1)-го разряда передается в i-й разряд с уменьшенным вдвое весом и увеличенным вдвое значением.
Приведем пример сложения двух двоичных чисел. Справа показано сложение тех же чисел в десятичной системе счисления. Следует обратить внимание на то, что перенос в соседний (старший) разряд возникает в том случае, если сумма цифр данного разряда больше или равна основанию системы счисления.
При вычитании двоичных чисел (см. табл. 3.1) в данном разряде при необходимости занимается единица из соседнего (старшего) разряда. Эта занимаемая единица равна двум единицам данного разряда. Заем производится каждый раз, когда цифра в разряде вычитаемого больше цифры в том же разряде уменьшаемого. Например, при вычитании:
единица из разряда с весом 2 4 была занята в разряд с весом 2 3 ; эта единица стала там двойкой, и в разряде с весом 2 3 выполнилось вычитание 10-1 = 1; на месте разряда с весом 2 4 в уменьшаемом фактически остался нуль.
Распространение займа сразу на несколько более старших разрядов можно проследить на примере вычитания чисел 101110,001 (2) и 101,011 (2) . Записав числа друг под другом:
нетрудно заметить, что в разряде с весом 2 -2 в результате вычитания должен произойти заем из разряда с весом 2 1 . Перепишем пример с учетом фактического расположения цифр после заема и выполним вычитание. Вместо зачеркнутых цифр необходимо использовать в качестве уменьшаемого надписанные цифры. Окончательный результат (разность) составляет 101000,110 (2) .
Пример . Уменьшаемое 1000000 (2) , вычитаемое 1 (2) , разность составляет
В соответствии с правилами можно эффективно организовать последовательное умножение множимого на разряды множителя. При каждом умножении на разряд множителя, равный 1, множимое передается в сумматор с накапливающим регистром; если разряд множителя равен 0, передача множимого в сумматор блокируется. Каждый раз при передаче множимого в сумматор должен быть учтен вес очередного разряда множителя путем сдвига накапливаемого частичного произведения или множимого. Таким образом, основу устройства умножения составляет устройство сложения, к которому добавляются регистры множителя и множимого, а также цепи сдвига частичных произведений и множимого.
Операция деления выполняется путем последовательных вычитаний делителя из промежуточных остатков, а устройство деления состоит из вычитателя с накапливающим регистром, регистра частного и регистра делителя с цепями сдвига остатков или делителя.
В основном арифметические операции выполняются на одном общем устройстве, называемом арифметико-логическим устройством (АЛУ).
Старшие разряды сумматоров с наименьшими весами разрядов участвуют в операциях сложения как обычные числовые разряды, но дополнительно они выполняют функции знаковых разрядов.
Цель работы. Научиться выполнять арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деления) с двоичными числами.
Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами двоичных сложения, вычитания и умножения.
|
Таблица двоичного сложения |
Таблица двоичного вычитания |
Таблица двоичного умножения |
|
0 1 1 |
1=0
0=0
1=1Задание 1. Выполните сложение чисел в двоичной системе счисления 100100111,001 2 +100111010,101 2
Методические указания.
При сложении двоичных чисел в каждом разряде производится сложение цифр слагаемых и цифры, переносимой из соседнего младшего разряда, если она имеется При этом необходимо учитывать, что 1+1 дают нуль в данном разряде и единицу переноса в следующий разряд.
Примеры .
1) Выполнить сложение двоичных чисел X=1101, Y=111.
В приведенном примере в младшем нулевом разряде две единицы: 1+1=10 дают нуль в данном разряде и единицу переноса в следующий. В первом разряде: 0+1+1=10 (крайняя единица перенесена из нулевого разряда) дают 0 и единицу переноса в следующий. Во втором разряде 1+1+1=11(крайняя единицы перенесена из первого разряда) дают 1 и единицу переноса в следующий. В старшем третьем разряде 1 и единица переноса из предыдущего разряда дают 1+1=10.
Результат: 1101+111=10100.
2) Сложить три двоичных числа X=1101, Y=101, Z=111.
Результат: 1101+101+111=11001.
Задание 2. Выполните вычитание чисел в двоичной системе счисления: 1100110110,0011 2 – 11111110,01 2 .
Методические указания.
При вычитании двоичных чисел в данном разряде при необходимости занимается 1 из старшего разряда. Эта занимаемая 1 равна двум единицам данного разряда, так как 10=1+1.
Примеры .
1) Заданы двоичные числа X=10010 и Y=101. Вычислить X–Y.
Результат: 10010 2 – 101 2 = 1101 2 .
Замечание. Число 100…00 2 можно представить в виде суммы
Данное разложение на слагаемые объясняет правило вычитания в столбик. Если вы занимаете 1 из ближайшего старшего разряда, тогда над всеми следующими за единицей нулями следует дописывать 1, а над крайним нулем, для которого произведен заем, 1+1 или 10.
2) Выполнить вычитание: 1100000011,011 2 – 101010111,1 2
Результат: 1100000011,011 2 – 101010111,1 2 = 110101011,111 2 .
Задание 3. Выполните умножение чисел 11001 2 и 1011100 2 в двоичной системе счисления.
Методические указания.
Правила умножения двоичных чисел такие же, как и для умножения десятичных чисел в столбик, с использованием двоичного умножения и сложения.
Пример
.
Найти
произведение 1001 2 
101 2
101
101 2 =101101 2 .
Задание 4. Выполните деление чисел 111101 2 и 1110 2 в двоичной системе счисления.
Методические указания.
Деление двоичных чисел производится так же, как и десятичных чисел, при этом используется двоичное умножение и вычитание.
Пример . Найти частное от деления 1100, 011 2 : 10, 01 2
Результат: 1100, 011 2 : 10, 01 2 =101, 1 2 .
Задания для самостоятельной работы
|
Заданы двоичные числа X и Y. Вычислить X+Y и X–Y , если: |
Заданы двоичные числа X и Y. Вычислить X*Y и X/Y , если: |
|
|
Х=100101,101 2 Y=11101,11 2 |
X=100101,011 2 Y=110,1 2 |
|
|
Х=101101,101 2 Y=1101,111 2 |
X=110000,11 2
Y= |
|
|
Х=110101,101 2 Y=11101,11 2 |
X=111001,0001 2 Y=1010,011 2 |
|
|
Х=1101111,101 2 Y=10101,11 2 |
X=111011,0001 2 Y=101,01 2 |
|
|
Х=1000111,11 2 Y=11101,111 2 |
X=111100,011 2 Y=101,11 2 |
|
|
Х=1110001,101 2 Y=10011,11 2 |
X=110110,101 2 Y=100,11 2 |
|
|
Х=1010001,101 2 Y=10011,11 2 |
X=100110,0001 2 Y=111,01 2 |
|
|
Х=1000011,101 2 Y=10011,011 2 |
X=101011,111 2 Y=110,11 2 |
|
|
Х=1101001, 101 2 Y=10111,11 2 |
X=1010110,101 2 Y=1000,01 2 |
|
|
Х=1010001,101 2 Y=1111,011 2 |
X=111111,01 2 Y=101,1 2 |
|
|
Х=101001, 101 2 Y=10111,111 2 |
X=1011010,101 2 , Y=111,01 2 |
|
|
Х=1010111, 101 2 Y=11100,111 2 |
X=1000101,0011 2 , Y=110,11 2 |
|
|
Х=110101,101 2 Y=1111,11 2 |
X=100101,011 2 , Y=110,1 2 |
|
|
Х=101111,101 2 Y=1101,111 2 |
X=100000,1101 2 , Y=101,01 2 |
|
|
Х=110101,011 2 Y=10011,11 2 |
Х=110111,11 2 Y=101,11 2 |
|
|
Х=1001011,11 2 Y=10101,101 2 |
Х=100101,11 2 Y=111,01 2 |
|
|
Х=100011,011 2 Y=10011,111 2 |
Х=100011,01 2 Y=1011,1 2 |
|
|
Х=1010001,101 2 Y=1011,011 2 |
Х=100001,101 2 Y=1001,01 2 |
|
|
Х=110001,101 2 Y=10111,11 2 |
Х=111001,101 2 Y=1101,11 2 |
|
|
Х=1000111,011 2 Y=11111,11 2 |
Х=1010111,011 2 Y=111,11 2 |
|
|
Х=111001, 101 2 Y=1110,111 2 |
Х=11100001, 101 2 Y=110,11 2 |
|
|
Х=100001,101 2 Y=1111,111 2 |
Х=1000001,101 2 Y=1111,01 2 |
|
|
Х=1011101, 101 2 Y=10111,011 2 |
Х=1010101, 101 2 Y=100,011 2 |
|
|
Х=1111000, 101 2 Y=101111,11 2 |
Х=1111001, 011 2 Y=1011,11 2 |
|
|
Х=1100000, 101 2 Y=1111,111 2 |
Х=1100011, 01 2 Y=11,111 2 |
2Контрольные вопросы.
1. Каковы правила сложения двоичных чисел?
2. Каковы правила вычитания двоичных чисел?
3. Каковы правила умножения двоичных чисел?
4. Каковы правила вычитания двоичных чисел?
